给初中生的向量入门（下）

向量点乘

引入向量点乘

现在我们知道了有向量，还有向量相关的运算——向量加减与向量数乘。可是大家可能会这个向量数乘感到不自在——这始终是一个向量与一个实数两种不同对象之间的乘法，交换律无从谈起。那像实数可以跟实数自己相乘一样，向量能不能也跟向量相乘呢？

答案是——可以有。我们来引入一种名为点乘的向量“乘法”。

在物理中，我们学到过合外力做功的计算——力与在力的方向上的移动的距离的乘积：

$$W = Fs$$

这个公式是两个数量之间的乘积。但是我们知道，力这个物理量是有方向的，是个向量。同时，我们引入另一个向量——位移，实际上，功这个物理量，就是力与位移这两个向量的“乘积”。

我们称，功就是力与位移这两个向量的点乘。符号表示为：

$$W = \vec{F}\cdot \vec{s}$$

那么问题就来了：我们现在只会计算力和位移方向相同的情况。

如果力和位移的方向不同，功应该怎么计算呢？

“发明”向量点乘

我们现在完全不懂这个点乘运算应该怎么算。但通过研究他的数学性质，其实不难推理出来。

首先，对力与位移的向量同时旋转一个角度，点乘的结果不变。这个很好理解：空间上换个角度做完全相同的物理实验，结果不可能发生改变。这是因为空间上各个方向的物理定律都是一样的。

同样地，如果交换两个向量的方向，点乘的结果也不变。这也是由于空间性质导致的，我们空间镜像对称地做同样的物理实验，结果也不应该改变。

然后我们假设物体所受合外力不变，先移动一段距离然后再移动一段距离，所做的功加起来应当等于力在总的位移上做的功。若位移距离变为原来的 $k$ 倍，最后所做的功也应该变为 $k$ 倍。若位移方向相反（原路返回），所做的功也会变为负功。

$$\begin{align} \vec{F}\cdot(\vec{s_{1}}+\vec{s_{2}}) & =\vec{F}\cdot \vec{s_{1}}+\vec{F}\cdot \vec{s_{2}} \\ \vec{F}\cdot(k\vec{s}) & =k(\vec{F}\cdot \vec{s}) \\ \vec{F}\cdot(-\vec{s}) & =-\vec{F}\cdot \vec{s} \end{align}$$

这对力也是一样的。运动位移不变时，各个分力分别做功，功的总和应当等于他们的合力所做的功。力的大小变为 $k$ 倍，所做的功也变为 $k$ 倍。 $k=-1$ ，即力的方向相反，做功也应该相反。

$$\begin{align} \vec{F}\cdot(\vec{s_{1}}+\vec{s_{2}}) & =\vec{F}\cdot \vec{s_{1}}+\vec{F}\cdot \vec{s_{2}} \\ \vec{F}\cdot(k\vec{s}) & =k(\vec{F}\cdot \vec{s}) \end{align}$$

这就像是，点乘这个运算对两边的向量加法有分配律，并且与向量数乘“优先级相同”。这也是我们感觉点乘运算是一个“乘法”的原因。

我们可以首先推理出，对于两个垂直的向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ ，他们的点乘 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 性质。

由于双线性，我们将其中一个向量取反，结果应该相反：

$$(-\vec{a})\cdot \vec{b}=-(\vec{a}\cdot \vec{b})$$

而同时，即使将其中一个向量取反，他们依然是大小不变、夹角依然成 $90\degree$ 的两个向量。即：

$$(-\vec{a})\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{b}$$

如此我们可以得出唯一可行的结论：互相垂直的两个向量，他们的点乘结果必定为零。

而对于方向相同的两个向量，功的物理公式已经剧透了——点乘结果就是两个向量大小的乘积：

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|$$

接下来就很简单了。对于任意向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ ，我们都可以将其中一个向量 $\vec{a}$ 沿平行于 $\vec{b}$ 方向与垂直于 $\vec{b}$ 方向，分解为 $\vec{a_{\perp}}$ 与 $\vec{a_{\parallel}}$ 。从而得到：

$$\begin{align} \vec{a}\cdot \vec{b} & =(\vec{a_{\perp}}+\vec{a_{\parallel}})\cdot \vec{b} \\ & =\vec{a_{\perp}}\cdot \vec{b}+\vec{a_{\parallel}}\cdot \vec{b} \\ & =0+|\vec{a_{\parallel}}||\vec{b}| \end{align}$$

而实际上，平行向量 $\vec{a_{\parallel}}$ 的长度，就是 $|\vec{a}|\cos \theta$ 。

由此可得，对于任意向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ ，都有：

$$\boxed{\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta}$$

很明显，如果我们将 $\vec{b}$ 沿平行 $\vec{a}$ 与垂直 $\vec{a}$ 方向分解，也能得到同样的结果。

点乘的坐标表示

之前我们一直在说，一个向量可以与点的坐标一一对应。实际上，如果知道两个向量的坐标表示，他们之间的点乘结果可以更快速地计算出来。

我们先来引入两个好用的向量： x 轴正方向上长度为1的向量 $\vec{e_{x}}=(1,0)$ 与 y 轴正方向上长度为1的向量 $\vec{e_{y}}=(0,1)$ 。我们称他们为 x 方向的单位向量与 y 方向的单位向量。

对于任意向量 $\vec{a}=(a_{x},a_{y})$ ，我们必然能用 $\vec{e_{x}}$ 与 $\vec{e_{y}}$ 来表示他：

$$\vec{a}=a_{x}\vec{e_{x}}+a_{y}\vec{e_{y}}$$

由于我们要的点乘运算有分配律，所以对于任意向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ ，都有：

$$\begin{align} \vec{a}\cdot \vec{b} & = (a_{x}\vec{e_{x}}+a_{y}\vec{e_{y}})\cdot(b_{x}\vec{e_{x}}+b_{y}\vec{e_{y}}) \\ & =a_{x}b_{x}\vec{e_{x}}\cdot \vec{e_{x}}+a_{x}b_{y}\vec{e_{x}}\cdot \vec{e_{y}}+a_{y}b_{x}\vec{e_{y}}\cdot \vec{e_{x}}+a_{y}b_{y}\vec{e_{y}}\cdot \vec{e_{y}} \end{align}$$

其中， $\vec{e_{x}}\cdot \vec{e_{x}}$ 与 $\vec{e_{y}}\cdot \vec{e_{y}}$ 为两个同向向量相点乘，结果为其长度相乘，即为 1 。 $\vec{e_{x}}\cdot \vec{e_{y}}$ 与 $\vec{e_{y}}\cdot \vec{e_{x}}$ 为两个垂直向量相点乘，结果为 0 。

如此可立刻得出：

$$\boxed{\vec{a}\cdot \vec{b}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}}$$

向量长度

我们考虑一种特别的情况：两个相同的向量进行点积。由于空间上的对称性，我们不妨将这个向量旋转到 x 轴正方向上，点积的结果不变。

假设向量 $\vec{a}$ 旋转到 x 轴正方向上时，向量为 $(a,0)$ ，其长度为 $|\vec{a}|=a$ 。则应有：

$$\begin{align} \vec{a}\cdot \vec{a} & = (a\vec{e_{x}})\cdot(a \vec{e_{x}}) \\ & = a^2(\vec{e_{x}}\cdot \vec{e_{x}}) \\ & = a^2 \end{align}$$

即，向量长度的平方等于它与自己的点积。

其实，用上一节得到的两个公式，也能推出相同的结果：

$$\begin{align} \vec{a}\cdot \vec{a} & = a_{x}^2+a_{y}^2 \\ & = |a|^2\cos 0 \degree \\ & = |a|^2 \end{align}$$

我们由此得到求向量 $\vec{a}$ 的长度 $|\vec{a}|$ 的方式：

$$|\vec{a}|^2=\vec{a}\cdot \vec{a}=a_{x}^2+a_{y}^2$$

计算两个向量的夹角

通过点积的两个公式，我们可以得到一个等式：

$$a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$$

左边只与两个向量的坐标分量有关，是点积的代数表示。右边只与两个向量的大小与夹角有关，与坐标系的选取方向无关，是点积的几何表示。

如果我们已知两个向量的坐标表示 $\vec{a}=(a_{x},a_{y})$ 、 $\vec{b}=(b_{x},b_{y})$ ，可知两个向量的长度分别为 $|\vec{a}|=\sqrt{ a_{x}^2+a_{y}^2 }$ 、 $|\vec{b}|=\sqrt{ b_{x}^2+b_{y}^2 }$ 。

从而我们可以通过点积求得两个向量的夹角 $\theta$ ：

$$\begin{align} \cos \theta & = \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \\ & = \frac{a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}}{\sqrt{ a_{x}^2+a_{y}^2 }\sqrt{ b_{x}^2+b_{y}^2 }} \end{align}$$

向量点乘的应用

余弦定理

通过点积，我们可以快速地建立起任意三角形边和角的关系。

假设有任意三角形 ABC 。则有：

$$\vec{AB} = \vec{CB}-\vec{CA}$$

将向量 $\vec{AB}$ 与自己点积，有：

$$\begin{align} \vec{AB}\cdot \vec{AB} & = (\vec{CB}-\vec{CA})\cdot(\vec{CB}-\vec{CA}) \\ & =\vec{CB}\cdot \vec{CB} + \vec{CA}\cdot \vec{CA} - 2\vec{CA}\cdot \vec{CB} \end{align}$$

代入点积的几何表示，则有：

$$|AB|^2=|CA|^2+|CB|^2-2|CA||CB|\cos C$$

令三角形三边为 a 、 b 、 c ，则可简写为：

$$c^2 = a^2+b^2-2ab\cos C$$

这个等式表明：

• 如果能确定 a 、 b 、 c 三条边，角 C 的大小就可以确定（SSS）
• 如果能确定 a 、 b 两条边与角 C 的大小，第三条边 c 就能确定 （SAS）
• 如果确定 c 的大小与角 C 的大小，以及 a 、 b 其中之一的大小，剩余的第三条边构成一元二次方程，可能有两个解（即 SSA 不能唯一确定一个三角形）

明显对于角 A 、 角 B 也能有对应的等式成立。这个定理被称为余弦定理。

圆幂定理

设平面有一个半径为 $R$ 、圆心为 $O$ 的圆。对于过平面上任一点 $P$ 的任意一条直线，设它与圆交于两点 $A$ 和 $B$ （切点视为重合的二点），恒有 $\vec{PA} \cdot \vec{PB} = \vec{OP}^2 - R^2$ 。这就是圆幂定理。

在初中阶段，圆幂定理被拆分为相交弦定理、切线定理、切割线定理，三个定理分别需要通过不同的步骤证明。实际上，我们可以使用向量，用统一的步骤证明三个定理。

设直线的方向向量（与直线同一方向的长度为1的向量）为 $\vec{v}$ 。从点 $P$ 到直线上任意一点的向量可表示为 $t\vec{v}$ ，其中 $t$ 为任意实数，其绝对值即为由 $P$ 点到该点的长度。

$\vec{PA}$ 和 $\vec{PB}$ 分别可以表示为 $t_1 \vec{v}$ ， $t_2 \vec{v}$ 。其中 $t_{1}$ 与 $t_{2}$ 即为有向线段 $\vec{PA}$ 与 $\vec{PB}$ 的长度。（如果 $t_{1}$ 为负，代表 $\vec{PA}$ 与 $\vec{v}$ 方向相反， $t_{2}$ 同理。）

由于 $\vec{v}\cdot \vec{v}=1$ ，因此有 $\vec{PA} \cdot \vec{PB} = t_1 t_2$ 。

另一方面，由圆的定义，在圆上任取一点 $X$ ，满足圆的向量方程 $|\vec{OX}|^2 = R^2$ 。对于点 $A$ 和 $B$ ，它们满足：

$$|\vec{OA}|^2 = R^2,\quad |\vec{OB}|^2 = R^2$$

对于 $A$ 点，由于 $\vec{OA}=\vec{OP}+\vec{PA}$ ，代入得：

$$|\vec{OP} + t_1 \vec{v}|^2 = R^2$$

展开得：

$$\vec{OP}^2 + 2t_1 (\vec{OP} \cdot \vec{v}) + t_1^2 = R^2$$

整理为：

$$t_1^2 + 2 (\vec{OP} \cdot \vec{v}) t_1 + (\vec{OP}^2 - R^2) = 0$$

对于给定的点 $O$ 、点 $P$ 与半径 $R$ ， $\vec{OP}\cdot \vec{v}$ 与 $\vec{OP}^2-R^2$ 都是常数。因此这是一个关于 $t_{1}$ 的一元二次方程。

同理，将点 $B$ 代入也会得到完全相同的二次方程，因此 $t_1$ 和 $t_2$ 正是这个二次方程的两个根。

根据韦达定理，两根之积为：

$$t_1 t_2 = \vec{OP}^2 - R^2$$

由于 $\vec{PA} \cdot \vec{PB} = t_1 t_2$ ，我们便得到了圆幂定理的表达式：

$$\boxed{\vec{PA} \cdot \vec{PB} = \vec{OP}^2 - R^2}$$

这个推导对 $P$ 的位置没有任何限制：

• $P$ 在圆内： $t_1$ 和 $t_2$ 符号相反，乘积为负，对应相交弦定理。
• $P$ 在圆外： $t_1$ 和 $t_2$ 符号相同，乘积为正，对应割线定理。
• $P$ 在圆上： $t_{1}$ 与 $t_{2}$ 中必有一个为零，乘积为零，点 $P$ 必定与点 $A$ 或点 $B$ 重合。
• 直线与圆相切 ： $t_{1}=t_{2}$ ，二次方程有重根，切线长 $t = \sqrt{\vec{OP}^2 - R^2}$ ，对应切割线定理。