从线性代数到分析力学（下）

极值问题到变分问题

最早，欧拉研究总结了短程线问题、等周问题等一大类类似“求取得极值时的曲线”的问题，并提出能使用了后来被称为“欧拉-拉格朗日方程”的通用的方法来求解这类问题。可惜此时欧拉的推导过程使用了大量分析与几何结合的手段，十分复杂也缺乏严谨，欧拉自己也对此并不满意。¹

后来，拉格朗日引入了变分符号 $\delta$ 来表示函数的“微小变化”，将求极值的问题转化为解微分方程的问题，使推导过程更加严谨。拉格朗日在欧拉-拉格朗日方程的基础上继续完善，发明了变分法——处理泛函极值问题的纯分析方法，并利用变分法提出了最小作用量原理的正确形式。¹²

可以说，变分法，乃至整个泛函分析学科，最初都是为了研究最小作用量这种泛函取极值的问题而发明出来的。

函数的极值问题

在研究泛函的极值问题之前，我们先来看看函数的极值我们是怎么求解的。

对于多元单值函数 $f(\vec{x})$ ，有 $\mathrm{d}f(\vec{x}) = D_{f}\mathrm{d}\vec{x}$ 。当 $f(\vec{x})$ 取得极值时，会有 $D_{f} = \mathbf{0}$ ，即 $\frac{ \partial f }{ \partial x_{1} }=0$ , $\frac{ \partial f }{ \partial x_{2} }=0$ , ……, $\frac{ \partial f }{ \partial x_{n} }=0$ 。

这个结论是一个必要条件，但不是充分条件，因为会出现 $f(x) = x^3$ 中 $x=0$ 时的情况。另外这个结论适用的前提是函数 $f(\vec{x})$ 足够光滑。

虽然有如此多的适用前提，但正如背景故事中提到，最早欧拉与拉格朗日都是为了研究物理问题而发明了变分法。而物理问题中的函数基本都能保证光滑，因此求极值的这个条件也足够实用。

泛函的极值问题

泛函的极值问题——也就是变分问题，是指求在泛函 $J[y]$ 在取得极值时，求此时的输入函数 $y^*$ 的问题。

这样说可能比较抽象，我们举一个具体的🌰：过两点 $A(x_{a}, y_{a})$ 与 $B(x_{b}, y_{b})$ 之间，到底走哪一条路能使走的路程最短？

过两点之间的一条路，我们都能理解为符合 $y(x_{a})=y_{a}$ 且 $y(x_{b})=y_{b}$ 的一个函数 $y(x)$ 。而过两点的路程就是这个函数在区间 $(x_{a}, x_{b})$ 内的路径积分：

$$L[y] = \int_{a}^b \sqrt{ 1+[y'(x)]^2 }\mathrm{d}x$$

那求路径最短的那一条路，就是求当 $L[y]$ 取得极小值 $L[y^*]$ 时对应的那个输入函数 $y^*(x)$ 。

与函数的极值问题类似，光滑泛函在 $y^*(x)$ 处取得极值时的必要条件，是对于所有方向上的变分 $\delta y(x)$ 都有：

$$\delta J[y^*;\delta y] = 0$$

变分法

很好，结论很漂亮，可是我们具体要怎么做才能解变分问题呢？

我们以上面已经反复提到的，求两点间最短路径的问题为例。

这个问题很简单，就连小学生都知道最短的路径是走直线。可是这又没那么简单，毕竟这是一个变分问题，我们要从变分法的角度来去解它。

假设泛函 $L[y]$ 在 $y^*(x)$ 处取得极小值 $L[y^*]$ 。我们对 $y^*(x)$ 施加一个微小扰动：

$$Y(x) = y^*(x) + \delta y(x)$$

由于 $y^*(x)$ 与 $y^*(x)+\delta y(x)$ 都符合 $y(a)=y_{a}$ 且 $y(b)=y_{b}$ ，那么我们易知，这个微小扰动 $\delta y(x)$ 需要符合：

$$\delta y(a)=\delta y(b) = 0$$

我们令 $\eta(x)$ 为符合 $\eta(a)=\eta(b)=0$ 的任意函数，那么在 $\eta$ 方向上的变分 $\delta y$ 就可表示为 $h\eta$ ，其中 $h$ 为一个接近 0 的实数。

我们将 $Y(x)$ 对 $x$ 求导，由于求导运算的加减法法则与数乘法则（或者也可以说是求导算子的线性性），可得：

$$Y'(x) = y^{*\prime}(x) + \delta y'(x) = y^{*\prime}(x) + h\eta'(x)$$

我们把经过微小扰动后的 $y^*(x)+\delta y(x)= y^*(x)+h\eta(x)$ 代入泛函 $L[y]$ ：

$$L[y^*+h\eta] = \int_{a}^b \sqrt{ 1+[y^{*\prime}(x)+h\eta'(x)]^2 }\mathrm{d}x$$

固定住微小扰动的方向 $\eta(x)$ ，此时泛函的输出值就成了关于 $h$ 的一元单值函数 $\Phi(h)$：

$$\Phi(h) = L[y^*+h\eta] = \int_{a}^b \sqrt{ 1+[y^{*\prime}(x)+h\eta'(x)]^2 }\mathrm{d}x$$

由于 $L[y]$ 在 $y^*$ 处取得极值，则有对于任意的扰动方向 $\eta(x)$ ，都有 $\Phi(h)$ 在 $h=0$ 处取得极值：

$$\delta L[y^*;\delta y] = \frac{d}{dh} \Phi(h) \Big|_{h=0} = 0$$

我们计算 $\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}h}$ ：

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}h}\Phi(h) & = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}h}\int_{a}^b \sqrt{ 1+[y^{*\prime}(x)+h\eta'(x)]^2 }\mathrm{d}x \\ \\ & = \int_{a}^{b} \frac{ \partial }{ \partial h } (\sqrt{ 1+[y^{*\prime}(x)+h\eta'(x)]^2 } ) \mathrm{d}x & （莱布尼茨法则） \\ & = \int_{a}^{b} \left(\frac{1}{2\sqrt{ 1+[y^{*\prime}(x)+h\eta'(x)]^2 }} \times 2[y^{*\prime}(x)+h\eta'(x)] \times \eta'(x) \right) \mathrm{d}x & （链式法则） \\ & = \int_{a}^{b} \eta'(x) \left(\frac{y^{*\prime}(x)+h\eta'(x)}{\sqrt{ 1+[y^{*\prime}(x)+h\eta'(x)]^2 }} \right) \mathrm{d}x \end{align}$$

由于 $\Phi(h)$ 在 $h=0$ 处取得极值，代入 $h=0$ 与 $\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}h} = 0$ ：

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}h}\Phi(h) \Big|_{h=0} & = \int_{a}^{b} \eta'(x) \left(\frac{y^{*\prime}(x)+h\eta'(x)}{\sqrt{ 1+[y^{*\prime}(x)+h\eta'(x)]^2 }} \right) \mathrm{d}x \Big|_{h=0} \\ & = \int_{a}^{b} \eta'(x) \left(\frac{y^{*\prime}(x)}{\sqrt{ 1+[y^{*\prime}(x)]^2 }} \right) \mathrm{d}x \\ & = \left[ \eta(x) \left( \frac{y^{*\prime}(x)}{\sqrt{ 1+[y^{*\prime}(x)]^2 }}\right)\right]_{a}^b - \int_{a}^{b} \eta(x) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\frac{y^{*\prime}(x)}{\sqrt{ 1+[y^{*\prime}(x)]^2 }} \right) \mathrm{d}x & （分部积分消去 \eta'） \\ & = - \int_{a}^{b} \eta(x) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\frac{y^{*\prime}(x)}{\sqrt{ 1+[y^{*\prime}(x)]^2 }} \right) \mathrm{d}x & （\eta(a) = \eta(b) = 0） \\ & = 0 \end{align}$$

在你的证明中，直接得出结论 (f(x) \equiv 0) 是错误的，因为它忽略了 (\eta'(x)) 的约束。正确的做法是使用分部积分，将问题转化为更标准的形式。

由于当泛函 $L[y]$ 取极值时，这个等式对所有扰动的方向 $\eta(x)$ 都成立，由变分法基本引理，有以下等式在区间 $(a,b)$ 上恒成立：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\frac{y^{*\prime}(x)}{\sqrt{ 1+[y^{*\prime}(x)]^2 }} \right) \equiv 0$$

也即，以下微分方程在区间 $(a,b)$ 上恒成立：

$$\frac{y^{*\prime}(x)}{\sqrt{ 1+[y^{*\prime}(x)]^2 }} \equiv C$$

这下看懂了， $y^{*\prime}(x)$ 不就是常数嘛！

$$y^{*\prime}(x) = \pm \frac{C}{\sqrt{ 1-C^2 }}= k$$

$y^*(x)$ 的一阶导为常数，那 $y^*(x)$ 就为一次函数。得：

$$\begin{align} & y^*(x) = kx+b \end{align}$$

其中， $k$， $b$ 为能使 $y^*(a) = y_{a}$ 且 $y^*(b) = y_{b}$ 的值。

欧拉-拉格朗日方程

叽里咕噜说了一大堆，结果只证明了连小学生都懂的两点之间直线最短！这欧拉行不行啊。

实际上，欧拉与拉格朗日所做的工作，并不是证明了一个问题，而是总结出了一大堆类似问题的通用解决方法——欧拉-拉格朗日方程。对于如下形式的泛函：

$$J[y] = \int_{a}^{b} F(x,y(x), y'(x)) \, \mathrm{d}x$$

可以直接套用欧拉-拉格朗日方程，求得当 $J[y]$ 取得极值时的函数 $y^*(x)$ 。其中 $F$ 为一个已知的，关于三个变量 $x,y,y'$ 的三元函数。

接下来我们仿照之前推导出过两点间直线最短的方式，推导出欧拉-拉格朗日方程。

假设泛函 $J[y]$ 取得极值时的函数为 $y^*(x)$ 。我们令 $\eta(x)$ 为符合 $\eta(a)=\eta(b)=0$ 的任意函数，那么在 $\eta$ 方向上的变分 $\delta y$ 就可表示为 $h\eta$ ，其中 $h$ 为一个接近 0 的实数。

对 $y^*(x)$ 施加一个微小扰动，然后对 $x$ 求导，分别可得：

$$\begin{align} y & = y^* + \delta y = y^* + h\eta \\ y' & = y^{*\prime} + \delta y' = y^{*\prime} + h\eta' \end{align}$$

代入泛函 $J[y]$ ，固定住微小扰动的方向 $\eta(x)$ ，得到一个关于 $h$ 的一元单值函数 $\Phi(h)$：

$$\Phi(h) = J[y^*+h\eta] = \int_{a}^{b} F(x, y^*+h\eta,y^{*\prime} + h\eta') \, dx$$

由于 $J[y]$ 在 $y^*$ 处取得极值，则有对于任意的扰动方向 $\eta(x)$ ，都有 $\Phi(h)$ 在 $h=0$ 处取得极值：

$$\delta J[y^*;\delta y] = \frac{d}{dh} \Phi(h) \Big|_{h=0} = 0$$

展开计算：

$$\begin{align} \delta J[y^*;\delta y] & = \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}h}\Big|_{h=0} \\ & = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}h} \int_{a}^{b} F(x, y^*+h\eta,y^{*\prime} + h\eta') \, \mathrm{d}x \Big|_{h=0} \\ & = \int_{a}^{b} \frac{ \partial }{ \partial h } F(x, y^*+h\eta,y^{*\prime} + h\eta') \, \mathrm{d}x \Big|_{h=0} & （莱布尼茨法则） \\ & = \int_{a}^{b} \left( \frac{ \partial F }{ \partial y } \eta+\frac{ \partial F }{ \partial y' } \eta' \right) \, \mathrm{d}x & （链式法则） \\ & = \int_{a}^{b} \frac{ \partial F }{ \partial y } \eta \, \mathrm{d}x + \left[\frac{ \partial F }{ \partial y' } \eta \right]_{a}^b - \int_{a}^{b} \eta\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{ \partial F }{ \partial y' } \mathrm{d}x & （将含 \eta' 项进行分部积分，消除 \eta' 项） \\ & = \int_{a}^{b} \eta \left( \frac{ \partial F }{ \partial y } - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{ \partial F }{ \partial y' } \right) \mathrm{d}x & （\eta(a)=\eta(b)=0，消去 \left[\frac{ \partial F }{ \partial y' } \eta \right]_{a}^b 项） \\ & = 0 \end{align}$$

这对于任意扰动方向 $\eta(x)$ 都成立，由变分法基本引理，得：

$$\boxed{\frac{ \partial F }{ \partial y } -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{ \partial F }{ \partial y' } = 0}$$

这就是欧拉-拉格朗日方程。

我们试着套用欧拉-拉格朗日方程来求解路径最短问题。因为路径最短的问题中 $F=\sqrt{ 1+(y')^2 }$ 与 $y$ 不直接相关，所以 $\frac{ \partial F }{ \partial y } = 0$ 被直接略去。而 $\frac{ \partial F }{ \partial y' }$ 项为：

$$\frac{ \partial F }{ \partial y' } = \frac{y'}{\sqrt{ 1+(y')^2 }}$$

代入得：

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{y'}{\sqrt{ 1+(y')^2 }} & = 0 \\ \frac{y'}{\sqrt{ 1+(y')^2 }} & = C \\ y' & = \pm \frac{C}{\sqrt{ 1-C^2 }} \\ y' & = k \end{align}$$

也可解得 $y^*(x)$ 为一次函数。

分析力学

上面几章都是数学，进入到最后一章终于要开始讲物理了，路漫漫其修远兮。

我们在介绍数学的时候，一般会从更基础、更抽象、更本质的东西开始讲，因为这个顺序逻辑层层递进，会比较好理解。然而一般来说，越本质、越基础的东西在时间上就越晚被发明。因为在历史上一般都是先研究明显、表层的东西，然后才慢慢深入、挖掘出表象背后的本质。

介绍物理的顺序会与介绍数学的顺序有很大不一样。物理是用来描述现实世界里的规律的，越是本质、抽象的东西平时就越少接触。没有一个现实里的模型来对照，也就越难理解。如果一上来就讲量子力学，然后才是大数定律回归宏观世界，那谁都遭受不住呀。

反而，物理随着历史的脉络发展，是有一定的逻辑顺序关联的，内容也可以由浅至深。顺着物理史来学，虽然会绕一些弯路，但逻辑脉络上反而更清晰。

接下来我们就顺着历史发展的脉络，来一步一步引入分析力学。

虚功原理

搞过物理竞赛的同学可能 DNA 要动了，这不就是静力学大题的必杀技——虚位移原理嘛！

虚位移原理最早由约翰·伯努利（Johann Bernoulli）在1717年提出，后来也叫虚功原理，是同一个原理的两种表述。

虚位移原理简单来说就是：如果一个系统处于惯性状态，运动轨迹为 $\vec{x}$ 是关于时间 $t$ 的函数。给这个系统一个微小的变化“虚位移” $\delta \vec{x}$ ，所有力做功的总和为零：

$$\delta W = \sum_{i}\vec{F_{i}} \cdot \delta \vec{r} = 0$$

由于点乘运算双线性，而又由于 $\delta\vec{x}$ 是任意方向的微小位移，实际上上式完全等价于：

$$\sum_{i} \vec{F_{i}} = 0$$

好家伙，这不就是牛顿第一定律嘛，系统处于惯性状态时合力为零。又绕回来了。实际上，虚位移原理与受力平衡时的牛顿力学原理就是完全等价的。

惯性力和达朗贝尔原理

可是，虚位移原理只适用于静力学问题。当物体受力不平衡，处于非惯性运动时，又该怎么办呢？

达朗贝尔（Jean le Rond d'Alembert）翻开历史堆（其实也就 50 多年前），发现牛顿提出过一种假象的力——惯性力：比如做圆周运动的物体，不就像是受到了惯性力的作用吗。

那感情好呀，通过引入这种假想的惯性力，动力学问题不就相当于一个所有受力加上惯性力受力平衡的静力学问题了吗：

$$\sum_{i}\vec{F_{i}} - m\vec{a} = 0$$

于是达朗贝尔在1743年提出了达朗贝尔原理：引入假想的惯性力，假设这种惯性力也能做虚功。仿照虚位移原理，给受力不平衡的动力学系统一个虚位移 $\delta \vec{x}$ ，所有力加上惯性力所做功的总和为零：

$$\sum_{i} \vec{F_{i}} \cdot \delta \vec{r} - m\vec{a}\cdot\delta \vec{r}=0$$

实际上，达朗贝尔原理与牛顿第二定律也完全等价。

最小作用量原理

最小作用量原理最早是由莫佩尔蒂（Pierre-Louis Maupertuis）在1744年提出的。在当年，人类在物理学方面的成就，主要集中在了几何光学和力学这两大类。

然而当年的力学理论，来来去去也主要就是牛爵爷那一套。而几何光学的理论却有两套：一套是由光的直线传播、反射定律、折射定律为基础的局部描述版本，另一套是费马的“光总是沿总时间最短的路径传播“，也就是整体描述版本。

力学与几何光学差别太大啦，莫佩尔蒂强迫症都要犯啦！于是他在《论此前看似不相容的各种自然规律的统一》中就提出几何光学与力学可以用一个统一的底层原理来解释——最小作用量原理：自然界中的运动规律，都是要把某个叫做“作用量”的东西取到最小。

莫佩尔蒂是欧拉的师弟，欧拉与拉格朗日当时已经发明欧拉-拉格朗日方程了。当时欧拉就一直鼓励拉格朗日建立一种正确的，最小作用量形式的力学理论。

拉格朗日坚信，正确的最小作用量形式的力学理论，应当是一种与牛顿力学完全等价的，基于极值形式的力学理论。于是他就从历史堆里翻找，看看有没有能用的类似结论。

他首先找到的是自己师祖约翰·伯努利提出的虚位移原理：

$$\delta W = \sum_{i}\vec{F_{i}} \cdot \delta \vec{r} = 0$$

某个东西的变化量等于零？嗯……此时有一道激光从屏幕左上角往右下角穿过，还要配上经典的柯南 BGM 。这不就像是某种泛函取极值时的结论吗！？作为欧拉-拉格朗日方程的发明者之一，这可太熟悉不过了！

外力对物体做的功，代表了环境与物体间能量的转换，从形式上来看这个能量要只与位移有关。只与位移有关的能量，不就是势能嘛。

所以拉格朗日找到了这样的一个势函数 $-V(\vec{r})$ ，他的变分就是虚位移下的做功：

$$\sum_{i}\vec{F_{i}}\cdot\delta \vec{r} = - \frac{ \partial V }{ \partial \vec{r} } \cdot \delta \vec{r} = -\delta V$$

这个变分等于零，也就意味着势函数 $-V(\vec{r})$ 取极值。也就是说在受力平衡时，这个取到最小的作用量就是势函数 $-V(\vec{r})$ 。

可是，如果仅有虚位移原理作基础，这样发展出来的最小作用量原理只能用于处理静力学呀。要是受力不平衡怎么办？于是拉格朗日继续找，又找到他好友达朗贝尔在前不久提出的达朗贝尔原理：

$$\sum_{i} \vec{F_{i}} \cdot \delta \vec{r} - m\vec{a}\cdot\delta \vec{r}=0$$

我们给这个假想的惯性力项也找一个对应的“势函数”不就好了？可是哪里会有既与位移有关，又与加速度有关的能量呀！

机械运动里除了势能项，自然就剩下动能项了。于是拉格朗日试了试动能函数：

$$T(\dot{\mathbf{r}}) = \frac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}^2$$

将动能函数稍加变形，就有：

$$m\vec{a}\cdot\delta \vec{r} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}m \dot{\mathbf{r}} \cdot\delta \vec{r} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{ \partial T }{ \partial \dot{\mathbf{r}} } \cdot\delta \vec{r}$$

哎呀，这跟动能的变分可有点差别呀。

不急，我们先将势能项与动能项整理到一起，就有：

$$\sum_{i} \vec{F_{i}} \cdot \delta \vec{r} - m\vec{a}\cdot\delta \vec{r} = \left(-\frac{ \partial V }{ \partial \mathbf{r} } -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{ \partial T }{ \partial \dot{\mathbf{r}} } \right) \cdot \delta \vec{r} =0$$

整条式子的值对于任意方向上的虚位移 $\delta \vec{r}$ 都为零，那就只能是括号里的部分为零：

$$-\frac{ \partial V }{ \partial \mathbf{r} } -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{ \partial T }{ \partial \dot{\mathbf{r}} } = 0$$

哎呀，这个形式可太眼熟啦！拉格朗日回想起当年跟欧拉一起改进过的欧拉-拉格朗日方程：

$$\boxed{\frac{ \partial F }{ \partial y } -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{ \partial F }{ \partial y' } = 0}$$

如果我整一个函数 $L(\mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}}) = T(\dot{\mathbf{r}}) - V(\mathbf{r})$ ，不就有：

$$\frac{ \partial L }{ \partial \mathbf{r} } -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{ \partial L }{ \partial \dot{\mathbf{r}} } \\ = -\frac{ \partial V }{ \partial \mathbf{r} } - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{ \partial T }{ \partial \dot{\mathbf{r}} } = 0$$

而且欧拉-拉格朗日方程是干嘛用的呀？是解决泛函求极值问题用的呀！那我们岂不是可以反推出泛函：

$$S[\mathbf{r}] = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left[ T(\dot{\mathbf{r}}) - V(\mathbf{r}) \right] \mathrm{d}t$$

我们从虚位移原理和达朗贝尔原理中推出来的那个方程，不就是这个泛函 $S[\mathbf{r}]$ 取极值时的条件？这个泛函 $S[\mathbf{r}]$ 的值，就是我们要找的最小作用量呀！

让我们重新整理一下表述：

拉格朗日在 1760 年发表的论文《关于确定不定积分公式极大极小的一种新方法》³，第一次提出了拉格朗日发明的处理泛函极值问题的纯分析方法——变分法。随后一年内发表了第二篇论文《将前篇论文阐述的方法应用于解决动力学各类问题》⁴，提出这个版本的最小作用量原理，并使用最小作用量原理来解决各种力学问题。

我们可以举一个自由落体运动的例子，来直观看到如何使用拉格朗日方程求解物理问题。

在自由落体运动中，动能 $T=\frac{1}{2}m\dot{h}^2$ ，势能 $V=mgh$ ，向下为正方向。则有拉格朗日量：

$$L = T - V = \frac{1}{2}m\dot{h}^2 - mgh$$

计算偏导数：

$$\begin{align} \frac{ \partial L }{ \partial h } & = -mg \\ \frac{ \partial L }{ \partial \dot{h} } & = m\dot{h} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{ \partial L }{ \partial \dot{h} } & = m\ddot{h} \end{align}$$

代入拉格朗日方程：

$$-\frac{ \partial V }{ \partial \mathbf{r} } -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{ \partial T }{ \partial \dot{\mathbf{r}} } = mg - m\ddot{h} = 0$$

$mg = m\ddot{h}$ ，这不就是牛顿第二定律嘛！

广义坐标与分析力学

拉格朗日并未止步于此。

大家可以发现，无论是虚功原理还是达朗贝尔原理，都是从做功、能量这样的整体维度去描述的。那在这其中，基于笛卡尔坐标系的，牛顿意义上的位移与速度，有那么重要吗？

不重要！

拉格朗日提出，系统中只要势能可以表示为一系列量的函数，而动能可以表示为这一系列量对时间的导数的函数，虚功原理、达朗贝尔原理、乃至最小作用量原理就都能适用！

我们来举个例子来直观理解他提出的这一系列的量——广义位移，以及广义位移对时间的导数——广义速度。

对于一个单摆，我们可以定义摆角 $\theta$ 为广义坐标，则广义速度为角速度 $\dot{\theta}$ 。则有势能 $V$ 与动能 $T$ ：

$$\begin{align} V & = mgh = -mgl\cos \theta \\ T & = \frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 \end{align}$$

于是有拉格朗日量：

$$L = T - V = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 + mgl\cos \theta$$

计算偏导数：

$$\begin{align} \frac{ \partial L }{ \partial \theta } & = -mgl\sin \theta \\ \frac{ \partial L }{ \partial \dot{\theta} } & = ml^2\dot{\theta} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{ \partial L }{ \partial \dot{\theta} } & = ml^2 \ddot{\theta} \end{align}$$

代入拉格朗日方程：

$$-\frac{ \partial V }{ \partial \theta } -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{ \partial T }{ \partial \dot{\theta} } = msgl\sin \theta - ml^2 \ddot{\theta} = 0$$

这正是单摆的运动方程。

从此，拉格朗日的理论终于完全跳脱出牛顿力学中笛卡尔坐标下的位移与速度的局部性束缚，发展为对力学原理进行整体性描述的分析力学理论。因为基于整体性描述，使得分析力学适用范围极广，甚至到量子力学理论里的海森堡矩阵力学、薛定谔波动力学也依然适用。

拉格朗日在 1788 年发表了著作《分析力学》⁵，最终提出了完整的拉格朗日分析力学。此时，距离 1687 年牛顿在《自然哲学的数学原理》⁶中提出牛顿力学已经过了将近 100 年。分析力学作为对力学原理的整体性描述，与作为局部性描述的牛顿力学在数学上严格等价，分别被用于处理不同尺度和条件下的力学问题。

最后

回顾我们这段从抽象数学到具体物理的旅程，其内在的逻辑链条清晰而有力。

线性代数为我们提供了看待“结构”的基本语言。我们理解了线性、线性映射（及其矩阵表示）和向量的度量（范数）。这不仅是处理有限维数据的工具，更是通向无限维空间的基石。

微积分将“线性”的思想发挥到极致。微分，其本质就是局部线性逼近。通过链式法则等工具，我们获得了分析复杂函数变化率的强大能力。

泛函分析是一次关键的观念飞跃。我们将函数视为无穷维空间中的向量，将函数的函数——泛函作为研究对象。变分的概念，即函数本身的微小变化，自然地将微积分中的极值问题推广到了无限维的函数空间。从有限维向量启发而来的变分法基本引理则为我们寻找泛函的极值点（平稳点）提供了关键的判别工具。

变分法是理论的必然延伸。我们不再满足于寻找一个点使得函数取极值，而是寻找一条路径（一个函数）使得某个累积量（如作用量）取极值。欧拉-拉格朗日方程正是这一追求的自然结果，它将泛函极值的复杂条件转化为一个关于路径函数的微分方程。

最终，我们抵达了分析力学。通过虚功原理和达朗贝尔原理，我们将牛顿力学的矢量力学转化为功和能量的标量形式。而最小作用量原理则如同皇冠上的明珠，它指出物体的真实运动轨迹是使作用量泛函取平稳值的那条路径。广义坐标的引入，最终使得这套理论得以完善，并能够优雅地处理复杂约束系统，其抽象与普适性远超牛顿力学。

但这远非故事的终点。拉格朗日去世后，分析力学这一门学科仍在发展，最小作用量原理的深刻内涵在后来得到了进一步的揭示。

经过哈密顿与雅可比等人的工作，分析力学体系变得更加严密和深刻。他们证明了，自然界之所以总是按作用量最小的方式运动，是因为物理系统在更高维的相空间或时空（配置空间）中，其实做着最简单的“直线”运动（即测地线）。我们在三维空间中看到的复杂轨迹，不过是高维时空中这种简单、自然运动在我们维度上的投影。²这一思想在爱因斯坦的广义相对论中达到了顶峰，其中物质和能量的分布决定了时空的弯曲性质，而自由质点的运动轨迹就是弯曲时空中的测地线。

更令人惊叹的是，分析力学与最小作用量原理展现出了惊人的生命力。当物理学进入微观和高速领域，许多牛顿力学的具体结论不再适用，但这套基于变分原理的框架却历久弥新。人们发现，作用量的量纲（能量×时间）与普朗克常数的量纲相同，这并非偶然，它暗示了作用量在量子世界中的基本地位。事实上，分析力学的数学结构——尤其是哈密顿体系——直接为海森堡的矩阵力学和薛定谔的波动力学提供了现成的数学语言。在薛定谔方程中，作用量以相位的角色出现。而后来发展的量子场论，其核心依然是作用量原理，只不过泛函的变量从粒子的路径变为了场在时空中的分布。

从线性代数到分析力学，我们看到的是一条数学概念不断抽象化、一般化，从而更深刻地揭示自然本质的道路。分析力学不仅是对牛顿力学的重新表述，更是一种更具前瞻性的世界观。它告诉我们，宇宙的运行或许遵循着某种极简与和谐的经济原理，而数学，正是我们理解这种终极之美的最有力工具。

Footnotes

1. 【数学史】泛函与变分法_哔哩哔哩_bilibili ↩ ↩²

2. 【科学史】牛顿的未竟之路——分析力学_哔哩哔哩_bilibili ↩ ↩²

3. Mémoires extraits des recueils de l’Académie de Turin/Essai d’une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrales indéfinies - Wikisource ↩

4. Mémoires extraits des recueils de l’Académie de Turin/Application de la méthode exposée dans le Mémoire précédent à la solution de différents Problèmes de Dynamique - Wikisource ↩

5. Mécanique analytique - Wikipedia ↩

6. Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica - Wikipedia ↩