三维空间中两种乘法（三）：几种乘法在 O(3) 上的不变性

点乘运算

是的，点乘运算（即向量的点积）在旋转群 O(3) 下是不变的。下面我将详细解释这一点。

背景说明

• 点乘运算：在三维空间中，两个向量 $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$ 的点积定义为： $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.$$ 这等价于矩阵形式 $\mathbf{a}^T \mathbf{b}$。
• 旋转群 O(3)：O(3) 是三维正交群，包含所有正交变换（即保持向量长度不变的线性变换）。正交变换由正交矩阵 $Q$ 表示，满足 $Q^T Q = I$（其中 $I$ 是单位矩阵）。O(3) 包括旋转（行列式为 $+1$，即 SO(3) 子群）和反射（行列式为 $-1$）。注意，虽然您提到“旋转群”，但 O(3) 严格来说包含反射；如果特指纯旋转（不含反射），则应使用 SO(3)。不过，点积在 O(3) 和 SO(3) 下均不变。

不变性证明

点积在 O(3) 下的不变性源于正交群的定义：正交变换保持点积不变。具体证明如下：

• 设 $Q \in O(3)$ 是一个正交矩阵（即 $Q^T Q = I$）。
• 对任意两个向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，施加变换 $Q$ 后得到 $Q\mathbf{a}$ 和 $Q\mathbf{b}$。
• 变换后的点积为： $$(Q\mathbf{a}) \cdot (Q\mathbf{b}) = (Q\mathbf{a})^T (Q\mathbf{b}) = \mathbf{a}^T Q^T Q \mathbf{b}.$$
• 由于 $Q^T Q = I$，有： $$\mathbf{a}^T Q^T Q \mathbf{b} = \mathbf{a}^T I \mathbf{b} = \mathbf{a}^T \mathbf{b} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}.$$
• 因此，$(Q\mathbf{a}) \cdot (Q\mathbf{b}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$，即点积在变换前后保持不变。

示例验证

考虑一个反射变换（属于 O(3)，但非纯旋转），例如关于 $xy$-平面的反射，其正交矩阵为：

$$Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

• 取向量 $\mathbf{a} = (1, 2, 3)$ 和 $\mathbf{b} = (4, 5, 6)$。
• 原点点积：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 4 + 10 + 18 = 32$。
• 变换后向量：$Q\mathbf{a} = (1, 2, -3)$，$Q\mathbf{b} = (4, 5, -6)$。
• 变换后点积：$(1, 2, -3) \cdot (4, 5, -6) = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + (-3) \cdot (-6) = 4 + 10 + 18 = 32$，与原点积相同。

附加说明

• O(3) 与 SO(3) 的区别：虽然您使用了“旋转群 O(3)”的表述，但严格来说：
  • SO(3)（特殊正交群）只包含纯旋转（行列式为 $+1$），是 O(3) 的子群。
  • O(3) 包含旋转和反射（行列式为 $\pm 1$）。
  • 点积在 SO(3) 下也保持不变，因为 SO(3) 是 O(3) 的子群，且上述证明同样适用。
• 几何意义：点积不变性意味着正交变换保持向量的夹角和长度（因为 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos \theta$），这是正交群的核心性质。

结论

点乘运算在 O(3) 群（包括所有正交变换）下是不变的。这适用于 O(3) 中的任何元素（旋转或反射）。如果您特指纯旋转群 SO(3)，结论同样成立。

叉乘运算、逐元素乘积

回答：叉乘运算和逐元素乘积在 O(3) 下的不变性

您的查询涉及叉乘运算（向量积）和逐元素乘积（Hadamard 乘积）在三维正交群 O(3) 下的不变性。O(3) 群包含所有正交变换（即保持向量长度不变的线性变换），由正交矩阵 $Q$ 表示（满足 $Q^T Q = I$）。O(3) 包括旋转（行列式为 $+1$，对应子群 SO(3)）和反射（行列式为 $-1$）。不变性指：对任意向量 $\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3$ 和任意 $Q \in O(3)$，运算结果在变换前后保持一致（或协变）。下面我逐一分析。

1. 叉乘运算在 O(3) 下是不变的吗？

答：不是。 叉乘运算在 O(3) 下不是不变的，因为它在反射变换（行列式 $-1$）下不保持结果。具体来说：

• 叉乘（$\times$）的结果是一个伪向量（axial vector），其行为取决于变换的手性。
• 对于纯旋转（SO(3)，行列式 $+1$），叉乘是 协变 的：即 $(Q\mathbf{a}) \times (Q\mathbf{b}) = Q (\mathbf{a} \times \mathbf{b})$。
• 但对于反射（行列式 $-1$），叉乘会改变符号：$(Q\mathbf{a}) \times (Q\mathbf{b}) = -Q (\mathbf{a} \times \mathbf{b})$。

数学证明： 设 $Q \in O(3)$，$\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3$。叉乘的变换规则为：

$$(Q\mathbf{a}) \times (Q\mathbf{b}) = \det(Q) \cdot Q (\mathbf{a} \times \mathbf{b})$$

• 若 $\det(Q) = 1$（SO(3)），则 $(Q\mathbf{a}) \times (Q\mathbf{b}) = Q (\mathbf{a} \times \mathbf{b})$。
• 若 $\det(Q) = -1$（反射），则 $(Q\mathbf{a}) \times (Q\mathbf{b}) = -Q (\mathbf{a} \times \mathbf{b})$，结果不相等。

反例（反射）： 考虑反射变换（关于 $xy$-平面）：

$$Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad \det(Q) = -1.$$

取 $\mathbf{a} = (1,0,0)$, $\mathbf{b} = (0,1,0)$：

• 原点乘：$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (0,0,1)$。
• 变换后：$Q\mathbf{a} = (1,0,0)$, $Q\mathbf{b} = (0,1,0)$。
• 叉乘结果：$(Q\mathbf{a}) \times (Q\mathbf{b}) = (1,0,0) \times (0,1,0) = (0,0,1)$。
• 但 $Q (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = Q(0,0,1) = (0,0,-1)$。
• 比较：$(0,0,1) \neq (0,0,-1)$，且满足 $(Q\mathbf{a}) \times (Q\mathbf{b}) = -Q (\mathbf{a} \times \mathbf{b})$。

结论： 叉乘在 O(3) 下不是不变的（因为反射破坏不变性）。但在 SO(3)（纯旋转群）下，它是协变的，即 $(Q\mathbf{a}) \times (Q\mathbf{b}) = Q (\mathbf{a} \times \mathbf{b})$。

2. 逐元素乘积在 O(3) 下是不变的吗？

答：不是。 逐元素乘积（Hadamard 乘积）在 O(3) 下不是不变的，因为它依赖于坐标系的选择，且一般正交变换不保持这种运算。逐元素乘积定义为：

$$(\mathbf{a} \circ \mathbf{b})_i = a_i b_i \quad \text{（分量 wise）}, \quad \mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3.$$

不变性要求：$(Q\mathbf{a}) \circ (Q\mathbf{b}) = Q (\mathbf{a} \circ \mathbf{b})$。然而，这在一般正交变换（包括旋转和反射）下不成立。

数学分析：

• 逐元素乘积是坐标相关的运算，不是几何不变的（即不保持内蕴性质）。
• 正交变换 $Q$ 改变向量的分量，但逐元素乘积在新坐标系中计算时，通常不等于先计算乘积再变换的结果。
• 形式化：设 $Q \in O(3)$，则： $$(Q\mathbf{a}) \circ (Q\mathbf{b}) \neq Q (\mathbf{a} \circ \mathbf{b}) \quad \text{（一般成立）}.$$

反例（旋转）： 考虑绕 $z$-轴旋转 45°（SO(3) 元素）：

$$Q = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \det(Q) = 1.$$

取 $\mathbf{a} = (1,0,0)$, $\mathbf{b} = (0,1,0)$：

• 原乘积：$\mathbf{a} \circ \mathbf{b} = (1 \cdot 0, 0 \cdot 1, 0 \cdot 0) = (0,0,0)$。
• 变换后：$Q\mathbf{a} = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$, $Q\mathbf{b} = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$。
• 逐元素乘积：$(Q\mathbf{a}) \circ (Q\mathbf{b}) = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}), \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}, 0 \cdot 0 \right) = (-\frac{2}{4}, \frac{2}{4}, 0) = (-0.5, 0.5, 0)$。
• 但 $Q (\mathbf{a} \circ \mathbf{b}) = Q(0,0,0) = (0,0,0)$。
• 比较：$(-0.5, 0.5, 0) \neq (0,0,0)$。

反例（反射）： 考虑反射（关于 $xy$-平面）：

$$Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad \det(Q) = -1.$$

取 $\mathbf{a} = (1,2,3)$, $\mathbf{b} = (4,5,6)$：

• 原乘积：$\mathbf{a} \circ \mathbf{b} = (1 \cdot 4, 2 \cdot 5, 3 \cdot 6) = (4,10,18)$。
• 变换后：$Q\mathbf{a} = (1,2,-3)$, $Q\mathbf{b} = (4,5,-6)$。
• 逐元素乘积：$(Q\mathbf{a}) \circ (Q\mathbf{b}) = (1 \cdot 4, 2 \cdot 5, (-3) \cdot (-6)) = (4,10,18)$。
• 但 $Q (\mathbf{a} \circ \mathbf{b}) = Q(4,10,18) = (4,10,-18)$。
• 比较：$(4,10,18) \neq (4,10,-18)$。

结论： 逐元素乘积在 O(3) 下不是不变的（旋转和反射均破坏不变性）。它仅在特定变换（如恒等或坐标轴置换）下可能成立，但对一般正交变换不成立。

总结

• 叉乘运算：在 O(3) 下 不是不变的（因反射导致符号变化）；在 SO(3) 下是协变的。
• 逐元素乘积：在 O(3) 下 不是不变的（因正交变换改变分量间的关联）。 这些结果凸显了向量运算的几何性质：点积（如前所述）在 O(3) 下不变，因为它与内积相关；而叉乘和逐元素乘积有更强的坐标系依赖性。