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> 点乘运算在旋转群 O(3) 下是不变的吗？
是的，点乘运算（即向量的点积）在旋转群 O(3) 下是不变的。下面我将详细解释这一点。
> 我注意到三维向量空间中的两种乘法——点乘、叉乘都有瑕疵。点乘没有封闭性，叉乘没有对易性，且他们都不符合结合律。
> 1. 为什么这两种运算都有瑕疵？我当然能从他们的定义推导得出这些瑕疵，但这两种运算都有瑕疵是否有什么深层原因？
> 我们讨论三维向量空间中的两种乘法：点乘、叉乘。点乘没有封闭性，叉乘没有对易性，我认为这两种运算都有瑕疵。
> 1. 为什么这两种运算都有瑕疵？两种都有瑕疵是否有什么必然原因？